Аннотация.

Рассмотрен метод проективно инвариантного описания овалов (плоских выпуклых фигур непрерывной кривизны), имеющих неявно выраженную осевую либо центральную симметрию (декартовы признаки которой утрачены в результате проективного преобразования фигуры). В обсуждаемой численной модели метода, на основе проективно инвариантных структур (так называемых H-поляр и T-поляр), предложенных автором ранее, использованы новые объекты анализа фигур – дуальные поляры, с помощью которых удается локализовать образы оси и/или центра овала единой вычислительной процедурой. Для разработанных процедур детекции элементов симметрии фигур показана их концептуальная связь с плюккеровой полюс-полярной дуальностью коник. Предлагаемый алгоритм поиска неявных элементов симметрии позволяает строить проективно инвариантное описание плоских фигур, не обладающих никакими иными геометрическими особенностями, кроме свойств скрытой симметрии (любого из двух родов).

Ключевые слова:

овал, проективное преобразование, вурф, касательная, полюс и поляра, гармоническое соответствие.

Стр. 46-59.

P.P. Nikolayev

"A method for projectively-invariant description of ovals having axial or central symmetry"

We consider a method for projectively-invariant description of ovals (planar convex figures of a continuous curvature) having implicit axial or central symmetry (the Cartesian attributes of which are lost as a result of a projective transformation of the figure). In the discussed numerical model of the method, new objects are used for figure analysis. These objects, which are called dual polar lines, are based on projectively-invariant structures, so-called H- and T-polar lines, earlier proposed by the author. The dual polar lines allow localizing the images of the axis and/or the center of the oval within a single computational procedure. The developed procedures for detecting the symmetry elements of figures are shown to be in conceptual connection with Plucker’s pole-polar duality of conics. The proposed algorithm of searching for implicit elements of symmetry allows building-up a projectively-invariant description of planar figures having no geometric peculiarities except for their hidden symmetry properties (of any of the two types).

Keywords: oval, projective transformation, wurf, tangent line, pole, polar line, harmonic correspondence.

Полная версия статьи в формате pdf.

REFERENCES

1. Nikolaev P.P. Proektivno invariantnoe raspoznavanie sostavnykh ovalov // Informatsionnye tekhnologii i vychislitelnye sistemy. 2010. № 4. S. 3-15.
2. Nikolaev P.P. Raspoznavanie proektivno preobrazovannykh ploskikh figur. II. Oval v kompozitsii s dualnym elementom ploskosti // Sensornye sistemy. 2011. T. 25. № 3. S.245-266.
3. Nikolaev P.P. Raspoznavanie proektivno preobrazovannykh ploskikh figur. III. Obrabotka ose-simmetrichnykh ovalov metodami analiza polyar // Sensornye sistemy. 2011. T. 25. № 4.S. 275-296.
4. Nikolaev P.P. Raspoznavanie proektivno preobrazovannykh ploskikh figur. IV. Metody formirovaniya proektivno invariantnogo opisaniya osesimmetrichnykh ovalov // Sensornye sistemy. 2012. T. 26. № 4. S. 280-303.
5. Nikolaev P.P. Raspoznavanie proektivno preobrazovannykh ploskikh figur. V. Metody detektsii obraza tsentra u ovalov s neyavno vyrazhennoy tsentralnoy simmetriey // Sensornye sistemy. 2013. T. 27. № 1. S. 10-34.
6. Nikolaev P.P. Raspoznavanie proektivno preobrazovannykh ploskikh figur. VI. Invariantnoe predstavlenie i metody poiska obraza tsentra ovalov s neyavno vyrazhennoy tsentralnoy simmetriey // Sensornye sistemy. 2014. T. 28. № 1. S. 10-32.
7. Glagolev N.A. Proektivnaya geometriya. M.: Vysshaya shkola. 1963. 344 s.
8. Modenov P.S. Analiticheskaya geometriya. M.: Izd-vo Mosk. un-ta, 1969. 699 s.
9. Nikolaev P.P., Nikolaev D.P. Proektivno invariantnoe raspoznavanie ploskikh konturovna primere krivykh s simmetriyami // Trudy ISA RAN. 2009. T. 45. S. 209-221.
10. Cartan E. La Methode du Repµere Mobile, la Theorie des Groupes Continus, et les Espaces Generalises, Exposes de Geometrie. No. 5. Hermann. Paris. 1935.
11. Cartan E. Lecons sur la Theorie des Espaces a Connexion Projective, Cahiers Scientiques. Vol. 17. Gauthier-Villars. Paris. 1937.
12. Cremona L. Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane // Opere matematiche di LUIGI CREMONA. T. 1. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. P. 317-465.
13. Faugeras O. Cartan's moving frame method and its application to the geometry and evolution of curves in the euclidean, affine and projective planes. In: Applications of Invariance in Computer Vision, J.L. Mundy, A. Zisserman, D. Forsyth (eds.) / Springer-Verlag Lecture Notes in Computer Science. Vol. 825. 1994. pp. 11-46.
14. Fels M., Olver P.J. Moving coframes. I. A practical algorithm / Acta Appl. Math. 51: 1998. 161–213.
15. Olver P.J. Applications of Lie Groups to Differential Equations / Springer. New York. 1993.
16. Olver P.J. Equivalence, Invariants, and Symmetry / Cambridge University Press. Cambridge.1995.
17. Olver P.J. Moving frames and singularities of prolonged group actions / Selecta Math. 6. 2000. 1-77.